Kvadriranje kruga

IzFC Letenje, an alkemija knjiga objavljena 1618.
Dio a
konvergentne serije na

Matematika
Ikona math.svg
1 + 1 = 11

Kvadriranje kruga je pokušaj konstrukcije, koristeći ravnalo i kompas , kvadrat s površinom jednakom površini danog kruga. Riječ 'pokušaj' upotrebljava se gore jer je zadatak izvršen dokazano nemoguće. To je poznato više od 100 godina, ali se sumnjalo puno duže.


Prirodno, takva manja prepreka poput nemogućnosti nije spriječila ljude da pokušaju izravnati krug. Osoba koja pokušava kvadrirati krug naziva se moronom krug-kvadrat , a pojam, metaforičkim proširenjem, može se primijeniti na bilo kojeg praktičara sličnih rekreativnih mogućnosti.

Pa kako to možeš učiniti?

Sadržaj

Zašto biste htjeli kvadrirati krug?

Kvadriranje kruga (u konačnom broju koraka) problem je koji nije riješen od vremena antike Grci . Iz toga slijedi da ako to možete riješiti, morate biti pametniji od bilo koga još od vremena starih Grka. Također, vjerojatno ćete dobiti široko priznanje za uklanjanje tako dugotrajnog (i prema tome, izuzetno važnog) problema. Možda osvojite Fields medalja !

Ozbiljnije, kvadratura kruga zahtijevala bi konstrukciju duljine započeti {poravnati} (x-2) ^ 2 + (4x) ^ 2 & = 16 \ x ^ 2-4x + 4 + 16x ^ 2 & = 16 \ 17x ^ 2-4x + 4 & = 16  kraj {poravnati }. (Krug s radijusom17x ^ 2-4x-12 = 0ima površinux =  frac {-b  pm  sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}. Stoga kvadrat s istom površinom mora imati stranicu begin {align} x & =  frac {- (- 4)  pm  sqrt {(- 4) ^ 2-4 (17) (- 12)}} {2 (17)} \ x & =  frac { 7  pm8  sqrt {13}} {34}  end {align}) Ako se ovaj broj može konstruirati, to bi to i dokazalo begin {align} & f (0.966) = 4 (0.966) = 3.864 \ & f (-0.731) = 4 (-0.731) = - 2.923  end {align}je algebarski broj, što znači da postoji neki mogući skup racionalnih brojeva pomoću kojih ga možete izračunati.


Iz raznih (u osnovi subjektivnih) razloga, sama pomisao daAlkemijabio nekako nedostupan putem 'normalnih' brojeva ČITAO je da nekima smeta. Legenda kaže da je Pitagora ubio osobu koja je to otkrilabila iracionalna, pa je misao dasama je bila potpuno nepristupačna putem cijelih brojeva bila bi anatema. Jedan se prigovor temelji na odlomcima iz Biblija , kao što 1. kraljevi 7: 23-26 vjeruju (neki literalisti) da to impliciramora biti racionalan i jednak 3.



Također bez ikakvog opravdanog razloga, tijekom 1700-ih godina pojavilo se uvjerenje da će kvadriranje kruga nekako riješiti problem 'Zemljopisna dužina' (nesposobnost morskih plovila da utvrde gdje su na osi istok-zapad). Kako su se nudile neke ogromne novčane nagrade (1714. britanska vlada ponudila je nagradu od 20.000 funti), to je ispaljivalo svakog matematičara amatera u Europi. Kvadriranje kvadrata zapravo je nevažno; sve što je bilo potrebno za rješavanje problema s zemljopisnom dužinom bila je sposobnost promatranja sunca i stvarno dobar sat.


U matematika svijetu pitanje je postavljeno u krevet 1882. kada je Ferdinand von Lindemann to dokazaonije algebarski (u tehničkom žargonu, 'transcendentalan'). Jer definitivno ne postoje racionalni brojevi koji mogu izračunati, nemoguće je konstruiratiu euklidskom prostoru.

Međutim, prave vjernike neće odvratiti ništa tako krhko kao što je 'dokaz'. Oni ustraju jer vjeruju da postoji ideološka pristranost protiv kvadrata čije hrabre istrage prijete ugodnom pravovjerju zapadne dekonstrukcionističke matematike.


Zapravo, jedina ideološka pristranost koja je na snazi ​​jest to što se stvarni matematičari ne brinu gubiti vrijeme s radilice .

Skica dokaza

U konstrukciji kompasa i ravnala slobodno se može definirati duljina jedinice iz bilo kojeg para zadanih točaka. Uz to, mogu se uzeti u obzir samo dane točke i presjeci prethodno izgrađenih kružnica i linija, a linije i krugovi mogu se graditi samo iz prethodno definiranih točaka.

Pronalaženje presjeka crte / kružnice i druge crte / kružnice uključuje istovremeno rješavanje sustava dviju jednadžbi od kojih je svaka kvadratna ili linearna. Te linije i kružnice zauzvrat ovise o točkama koje ih definiraju, pa se s malo algebre može vidjeti da je definiranje točke iz nekih zadanih ekvivalentno rješavanju kvadratne jednadžbe čiji su koeficijenti ili cijeli brojevi, ili su rezultat ponovljenih primjena ove metode.

Recimo, na primjer, htjeli smo odrediti točke u kojima linija s nagibom od četiri siječe krug s radijusom od četiri u središtu u točki. Da bismo pronašli točke presjeka, trebali bismo postaviti sustav jednadžbi gdje je jednadžba dana kruga linija je dana jednadžbom. Tada bismo jednadžbu crte zamijenili jednadžbom kruga, proširili i pojednostavili.




Da bismo pronašli korijene, ovo preuređujemo na 0:

Imajte na umu da je ovo doista polinom s jednom varijablom sa cijelim brojevima kao koeficijentima, kao što se moglo očekivati ​​od konstrukcije kompasa i ravnih rubova. Budući da se to neće lako uzeti u obzir, možemo koristiti kvadratnu formulu:

Za bilo koji kvadrat u obliku, primjenjiva je sljedeća formula:



Ovo je 'kvadratna formula'.

Koristeći našu jednadžbuslijedi sljedeće:

Što daje korijene.

Da biste pronašlivrijednosti zamjenjujemo gornje korijene u jednadžbu crte:

Stoga slijedi da linijapresijeca krugnai.


U osnovnoj analizi, brojevi koji zadovoljavaju neku polinomnu jednadžbugdje su koeficijentijesu li cijeli brojevi (tj. kvadratna jednadžba gore) ono su što je poznato kao algebarski brojevi. Štoviše, oni tvore ono što je poznato kao algebarski zatvoreno polje, to jest, svi korijeni polinoma s algebarskim koeficijentima i sami su algebarski brojevi. Stoga svi brojevi koje je moguće konstruirati kompasom i ravnalom moraju biti algebarski, što(i stoga njegov kvadratni korijen) nisu. Stoga je gradnja nemoguća. U stvari, matematičke konstante e (2.71828 ...) i(3.14159 ...) pripadaju klasi brojeva poznatih kao transcendentalni brojevi, brojevi koji nisu korijeni nultog polinoma s cjelobrojnim koeficijentima. Potpuni, formalni dokaz toga poznat je kao Lindemann-Weierstrassov teorem. Za razliku od ostalih područja (npr. Znanosti, prava) pojam 'dokaza' u matematici je apsolutni, tj. Kad se za nešto pruži valjani dokaz, apsolutno ništa ne može to opovrgnuti unutar aksiomatske osnove na kojoj se radi.

Varati

Možete to lako prevariti, ali možete li to učiniti kompasom i ravnalom?

Uobičajeni način kvadratnog kruga je varanje. (Matematičari to zovuaproksimacija.) Prisjetimo se da je izjava problema konstruirati kvadrat odisto područjeimatikrugkoristećiravnalo i kompas.Bilo koji od izraza u kurzivu treba smatrati samo neobaveznim.

Na primjer, s obzirom na kružnicu, jednostavno je konstruirati kvadrat koji ima površinu jednaku 3,2 puta kvadrat polumjera zadane kružnice. Ovaj kvadrat nema istu površinu kruga, ali izgledat ćeužasno blizu.To bi trebalo biti dovoljno dobro za matematičare.

Ili, umjesto da započnemo s krugom, mogli bismo započeti s poligonom s, recimo, 96 stranica. To je dovoljno blizu kruga - zar ne, svi? Moguće je 'poligon' kvadratiti (kao što su znali Grci), tako da je u osnovi moguće kvadrat kvadratiti. Alternativno, možete pokazati kako kvadrirati poligon sa 96 stranica, poligon sa 192 stranice, mnogougao s 384 stranice i tako dalje. Stoga, prelazeći na granicu, možemo kvadrat oblikovati u kvadrat.

Varanje na više načina istovremeno

Sljedeći postupak uključuje kalkulator. Nije točno, ali se može usavršiti do točnosti alata koje imate.

  • Prvo izračunajte površinu kruga.
  • Zatim uzmite kvadratni korijen područja da biste dobili duljinu ruba kvadrata.
  • Ako imate dobre alate za crtanje, možete čak i nacrtati kvadrat sada kada imate duljinu ruba.

Varanje s fizičkim pomagalom

  • Stvorite kotač iste veličine kao krug i koji je upola širok od polumjera kruga.
  • Pokrijte bočnu stranu mokrom bojom i pustite da se točno jednom okreće na ravnoj površini.
  • To ostavlja naslikani pravokutnik iste površine kao i krug.
  • Završite kvadratom ovog pravokutnika (ovaj se korak može izvesti čak i s ravnalom i kompasom).

Upozorenje

Ako vam se javi poriv za razgovorom ili raspravom oko krugova, odmah potražite liječničku pomoć. Kvadratnike uglavnom ne zanima kritiziranje njihovih ideja. Nisu uvjereni u 'dokaz' - da jesu, ne bi započeli problem. Vidjeti Pretpostavka Keitha Devlina o ovome za više.

Klasična obitelj nerješivih problema

Kvadriranje kruga , udvostručujući kocku i trisektiranje kuta može se nazvati trojstvom klasičnih nerješivih problema u euklidskoj geometriji. Budući da je dokazano da su sve tri nemoguće, ne upotrebljavajući ništa osim ravnala i šestara, naravno da je neodoljivo da se radilice ionako izravnaju, udvostruče i prekidaju. Drugi problem, fizički ovaj put, jest izmišljanje a vječno kretanje stroj, što je jednako nemoguće. Vrijeme i trud potrošeni na to prkose vjerovanju, ali ako se radije drže tih uzaludnih pokušaja, mogao bi se iznijeti argument da barem ne čine štetu dok su angažirani u tim pothvatima.